Algebra Lineal - Curso Completo

Álgebra Lineal y sus Aplicaciones – Curso Completo

En álgebra lineal, los conceptos son tan importantes como los cálculos. Los ejercicios numéricos simples que inician cada serie de ejercicios sólo ayudan a verificar su comprensión de los procedimientos básicos. Posteriormente, en su carrera, las computadoras realizarán los cálculos, pero será necesario elegir los adecuados, saber cómo interpretar los resultados, y después explicar las soluciones a otras personas. Por esta razón, en el texto muchos ejercicios le piden explicar o justificar los cálculos realizados. Con frecuencia se solicita una explicación escrita como parte de la respuesta. Para la gran mayoría de los ejercicios con número impar, encontrará la explicación deseada o al menos una buena sugerencia. Debe evitar la tentación de buscar las respuestas a los ejercicios hasta no haber intentado escribir una solución por usted mismo. De otra manera, es posible considerar que algo ha sido comprendido aún cuando en realidad no sea así.

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Para dominar los conceptos del álgebra lineal, es necesario leer y releer el texto con sumo cuidado. Los términos nuevos se presentan en negritas, algunas veces encerrados en recuadros de definición. Al final del texto se incluye un glosario de términos. Los conceptos importantes se establecen como teoremas o se incluyen en recuadros iluminados, para utilizarse como referencia rápida. Es recomendable leer las cuatro primeras páginas del prefacio para aprender más sobre la estructura del texto. Esto le proporcionará un marco para comprender la manera en que se desarrollará el curso.

En sentido práctico, el álgebra lineal es un lenguaje. Este lenguaje debe aprenderse de la misma forma en que se aprende un idioma extranjero —con trabajo diario—. El material presentado en una sección no se comprende con facilidad a menos que se haya estudiado por completo el texto y se hayan resuelto los ejercicios de las secciones previas. Por eso es necesario mantenerse al corriente con el curso, lo cual le ahorrará mucho tiempo y angustia.

CONTENIDO DEL CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL

Capítulo 1 – Ecuaciones lineales en álgebra lineal

  • EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos lineales en economía e ingeniería
  • 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales
  • 1.2 Reducción por fi las y formas escalonadas
  • 1.3 Ecuaciones vectoriales
  • 1.4 La ecuación matricial Ax = b
  • 1.5 Conjuntos solución de los sistemas lineales
  • 1.6 Aplicaciones de los sistemas lineales
  • 1.7 Independencia lineal
  • 1.8 Introducción a las transformaciones lineales
  • 1.9 La matriz de una transformación lineal
  • 1.10 Modelos lineales en negocios, ciencias e ingeniería
  • Ejercicios suplementarios

Capítulo 2 – Álgebra de matrices

  • EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos de computadora en el diseño de aviones
  • 2.1 Operaciones de matrices
  • 2.2 La inversa de una matriz
  • 2.3 Caracterizaciones de matrices invertibles
  • 2.4 Matrices partidas
  • 2.5 Factorizaciones de matrices
  • 2.6 El modelo de Leontief de entrada y salida
  • 2.7 Aplicaciones a los gráficos por computadora
  • 2.8 Subespacios de Rn
  • 2.9 Dimensión y rango
  • Ejercicios suplementarios

Capítulo 3 – Determinantes

  • EJEMPLO INTRODUCTORIO: Determinantes en geometría analítica
  • 3.1 Introducción a los determinantes
  • 3.2 Propiedades de los determinantes
  • 3.3 Regla de Cramer, volumen y transformaciones lineales
  • Ejercicios suplementarios

Capítulo 4 – Espacios vectoriales

  • EJEMPLO INTRODUCTORIO: Vuelo espacial y sistemas de control
  • 4.1 Espacios y subespacios vectoriales
  • 4.2 Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales
  • 4.3 Conjuntos linealmente independientes; bases
  • 4.4 Sistemas de coordenadas
  • 4.5 La dimensión de un espacio vectorial
  • 4.6 Rango
  • 4.7 Cambio de base
  • 4.8 Aplicaciones a ecuaciones en diferencias
  • 4.9 Aplicaciones a cadenas de Markov
  • Ejercicios suplementarios

Capítulo 5 – Valores propios y vectores propios

  • EJEMPLO INTRODUCTORIO: Sistemas dinámicos y los búhos manchados
  • 5.1 Vectores propios y valores propios
  • 5.2 La ecuación característica
  • 5.3 Diagonalización
  • 5.4 Vectores propios y transformaciones lineales
  • 5.5 Valores propios complejos
  • 5.6 Sistemas dinámicos discretos
  • 5.7 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales
  • 5.8 Estimaciones iterativas para valores propios
  • Ejercicios suplementarios

Capítulo 6 – Ortogonalidad y mínimos cuadrados

  • EJEMPLO INTRODUCTORIO: Reajuste del Nivel de Referencia Norteamericano
  • 6.1 Producto interior, longitud y ortogonalidad
  • 6.2 Conjuntos ortogonales
  • 6.3 Proyecciones ortogonales
  • 6.4 El proceso Gram-Schmidt
  • 6.5 Problemas de mínimos cuadrados
  • 6.6 Aplicaciones a modelos lineales
  • 6.7 Espacios con producto interior
  • 6.8 Aplicaciones de los espacios con producto interior
  • Ejercicios suplementarios

Capítulo 7 – Matrices simétricas y formas cuadráticas

  • EJEMPLO INTRODUCTORIO: Procesamiento de imágenes multicanal
  • 7.1 Diagonalización de matrices simétricas
  • 7.2 Formas cuadráticas
  • 7.3 Optimización restringida
  • 7.4 La descomposición en valores singulares
  • 7.5 Aplicaciones al procesamiento de imágenes y a la estadística
  • Ejercicios suplementarios

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